20081111


Vektor dalam matematika merupakan besaran dengan arah tertentu. Vektor dapat dideskripsikan dengan sejumlah komponen tertentu, tergantung dari sistem yang digunakan. Contoh dari vektor yang terkenal adalah gaya gravitasi. Gaya gravitasi tidak hanya memiliki besar, namun juga arah yang menuju pusat gravitasi.
Panjang Vektor

Untuk mencari panjang sebuah vektor dalam ruang euklidian tiga dimensi, dapat digunakan cara berikut:

\left\|\mathbf{a}\right\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}

Kesamaan Dua Vektor

Dua buah vektor dinamakan sama apabila dua-duanya memiliki panjang dan arah yang sama

Kesejajaran Dua Vektor

Dua Buah Vektor disebut sejajar (paralel) apabila garis yang merepresentasikan kedua buah vektor sejajar.

Operasi Vektor

Perkalian Skalar

Sebuah vektor dapat dikalikan dengan skalar yang akan menghasilkan vektor juga, vektor hasil adalah:

r\mathbf{a}=(ra_1)\mathbf{i} +(ra_2)\mathbf{j} +(ra_3)\mathbf{k}

Penambahan Vektor dan Pengurangan Vektor

Sebagai contoh vektor a=a1i + a2j + a3k dan b=b1i + b2j + b3k.

Hasil dari a ditambah b adalah:

\mathbf{a}+\mathbf{b} =(a_1+b_1)\mathbf{i} +(a_2+b_2)\mathbf{j} +(a_3+b_3)\mathbf{k}

pengurangan vektor juga berlaku dengan cara yang kurang lebih sama

Vektor Satuan (Unit Vector)

Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang 1 satuan panjang. Vektor satuan dari sebuah vektor dapat dicari dengan cara:

\mathbf{\hat{a}} = \frac{\mathbf{a}}{\left\|\mathbf{a}\right\|} = \frac{a_1}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\mathbf{\hat{i}} + \frac{a_2}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\mathbf{\hat{j}} + \frac{a_3}{\left\|\mathbf{a}\right\|}\mathbf{\hat{k}}

Perkalian vektor

Perkalian vektor adalah operasi perkalian dengan dua operand (obyek yang dikalikan) berupa vektor. Terdapat tiga macam perkalian vektor, yaitu perkalian titik (dot product), perkalian silang (cross product) dan perkalian langsung (direct product).

Perkalian titik

Perkalian titik dua buah vektor akan menghasilkan sebuah skalar. Jenis perkalian ini bersifat komutatif.



Untuk vektor satuan terdapat hubungan-hubungan yang khusus dalam operasi perkalian titik, yang merupakan sifat-sifat yang digunakan dalam perkalian titik, yaitu

dan

Atau dapat pula dituliskan dengan menggunakan notasi delta Kronecker , yaitu

Perkalian silang

Posted by pwidia o


PENAMBAHAN VEKTOR

Vektor adalahbesaran yang memiliki arah dan besaran, penambahannya harus dilakukan dengan cara yang khusus. Pada bab ini, terutama akan membahas mengenai vector perpindahan (yang sekarang akan kami beri symbol D) dan vector percepatan (V). tetapi hasinya berlaku bagi vector-vektor yang lain yang akan kita bahas.

Aritmatika sederhana untuk penambahan skala. Aritmatika sederhana juga dapat digunakan untuk penambahan vector jika arahnya sama.

Contoh :

Jika seorang berjalan 8 Km kearah timur pada suatu hari, dan 6 Km kearah timur pada hari berikutnya, orang tersebut akan berada pada jarak 8 km + 6 km = 14 km disebelah timur dari tempat asalnya.

Kita katakana bahwa perpindahan netto atau resultan adalah 14 km kearah timur. Dilain pihak jika orang tersebut berjalan 8 km pada hari pertama, dan 6 km kebarat (arah yang berlawanan) pada hari kedua orang itu akan berada 2 km dari tempat dia berangkat, sehingga perpindahan resultannya 2 km ketimur. Dalam hal ini perpindahan resultan dapat dengan pengukuran : 8 km – 6 km = 2 km.



Resultan = 14 km (timur)

0

Tapi aritmatika sederhana tida dapat digunakan jika kedua vector tidak berada sepanjang garis yang sama.Misalnya seorang berjalan 5,0 km ke utara. Perpindahan ini dapat symbol y pada (positif)kea rah utara dan syimbol x(negatif) menuju kea rah timur .

Gambar tanda panah yang diberi lebel D1,untuk menyatakan vector perpindahan 10,0 km kea rah timur,kemudian panah ke dua D2,untukmenyatakan perpindahan 5,0 km ke utara kedua vector digambar nenurut sekala seperti pada gambar disamping.

Setelah melakukan perjalanan orang ini sekaran berada 10,0 km kearah timur dan 5,0 km kearah ke utara dari titik asalnya..perpndhan resultan dinyatakan dengan tanda panah yang diberi lebel DR dengan menggunakan penggaris dan busur deraja,anda dapat mengukur dengan alat ini bahwa orang tersebut berada pada 27 1ke utara dari 11,2 km dari titik sal.dengan kata lain perpindahan vector memiliki besaran 11,2 km dan membuat sudut 27 dengan sumbu x positif besar(panjang) juga dapat menggunakan teorema pytagoras , karena D1,D2, dan DR membentuk segtiga siku siku dengan DR sebagai hypotaus (sisi miring) dengan emikian

DR =√D12+D22 = √(10,0km)2 + (5,0km)2 = √125 km2 = 11,2 km

Tentu saja anda dapat menggunakan teorema Pythagoras hanya jika vektor-vektor tersebut tegak lurus atau sama lain.

Vector perpindahan resultan, DR adalah jumlah dari vector D1 dan D2 yaitu

DR = D1 + D2

Ini adalah persamaan vector. Satu cirri penting dari penabahan dari dua vector yang tidak berada pada garis yang sama adalah bahwa besar vector resultan tidak sama dengan jumlah besar kedua vector pembentuknya, tetapi lebih kecil dari jumlah tersebut.

A x B = (bx r) i + (c x p) j + (a x q) k – (p x b) k – (q x c) i – (Penjumlahan dan pengurangan dua buah vector

│A±B│= akar dari A2+B2±2ABcosα

Perkalian Vektor

Perkalian Dot

adalaha A dot B =│A││B│cosα sudut antara vector A dan B

i x i = 1 ; i x j = 0 ; i x k = 0

j x j = 1 ; j x k = 0 ; j x i = 0

k x k = 1 ; k x j = 0 ; k x i = 0

Perkalian Cross

A x B =│A││B│sinα

i x i = 0 ; i x j = k ; i x k = - j

j x j = 0 ; j x k = i ; j x i = -k

k x k = 0 ; k x j = -i ; k x i = j

Metode Sorrus untuk perkalian Cross

Dua buah vector A = a i + b j + c k dan B = p i + q j + r k

r x a)j

Notasi ILMIAH

Elemen Identitas

Vektor nol ditulis 0

Vektor nol disebut elemen identitas

u + 0 = 0 + u = u

Jika u adalah sebarang vektor bukan nol, maka –u adalah invers aditif u yang didefinisikan sebagai vektor yang memiliki besar sama tetapi arah berlawanan.

u u = u + (-u) = 0

Elemen Identitas

Vektor nol ditulis 0

Vektor nol disebut elemen identitas

u + 0 = 0 + u = u

Jika u adalah sebarang vektor bukan nol, maka –u adalah invers aditif u yang didefinisikan sebagai vektor yang memiliki besar sama tetapi arah berlawanan.

u u = u + (-u) = 0

Penjumlahan Vektor

Penjumlahan vektor menurut aturan segitiga dan aturan jajaran genjang

Dalam bentuk pasangan bilangan sbb:



Pengurangan Vektor

Selisih dua vektor u dan v ditulis uv didefinisikan u + (-v)

Dalam bentuk pasangan bilangan

Perkalian Vektor dengan Skalar

mu adalah suatu vektor dg panjang m kali panjang vektor u dan searah dengan u jika m > 0, dan berlawanan arah jika m <>



Sifat-Sifat Operasi Vektor

Komutatif à a + b = b + a

Asosiatif à (a+b)+c = a+(b+c)

Elemen identitas terhadap penjumlahan

Sifat tertutup-> hasil penjumlahan vektor juga berupa vektor

Ketidaksamaan segitiga |u+v| ≤ |u| + |v|

1u = u

0u = 0, m0 = 0.

Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0

Sifat-Sifat Operasi Vektor (lanj.)

(mn)u = m(nu)

|mu| = |m||u|

(-mu) = - (mu) = m (-u)

Distributif : (m+n)u = mu + nu

Distributif : m(u+v) = mu + mv

u+(-1)u = u + (-u) = 0

Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

Menghitung Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

Menentukan Arah Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

Vektor Posisi

OA = a dan OB = b adalah vektor posisi.

AB = AO + OB

= OB – OA

= b – a

Dot Product (Inner Product)

Perkalian titik (dot product) ab (dibaca a dot b) antara dua vektor a dan b merupakan perkalian antara panjang vektor dan cosinus sudut antara keduanya.



Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1,b1,c1] dan b = [a2,b2,c2], maka :



ab > 0 jika {γ| 0 < γ <>

ab = 0 jika {γ| γ = 90o}

ab <>jika {γ| 90o < γ<>

Vektor Ortogonal

Teorema

Hasil perkalian dot product antara dua vektor bukan-nol adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut saling tegak lurus

Vektor a disebut ortogonal thd vektor b jika a•b = 0, dan vektor b juga ortogonal thd vektor a.

Vektor nol 0 ortogonal terhadap semua vektor.

Untuk vektor bukan-nol

a•b = 0 jika dan hanya jika cos γ = 0 à γ = 90o = π/2

1 komentar:

linker mengatakan...

gambar nya kurang jelas, :D