Perkalian vektor

Vektor dalam matematika merupakan besaran dengan arah tertentu. Vektor dapat dideskripsikan dengan sejumlah komponen tertentu, tergantung dari sistem yang digunakan. Contoh dari vektor yang terkenal adalah gaya gravitasi. Gaya gravitasi tidak hanya memiliki besar, namun juga arah yang menuju pusat gravitasi.
Panjang Vektor

Untuk mencari panjang sebuah vektor dalam ruang euklidian tiga dimensi, dapat digunakan cara berikut:

Kesamaan Dua Vektor

Dua buah vektor dinamakan sama apabila dua-duanya memiliki panjang dan arah yang sama

Kesejajaran Dua Vektor

Dua Buah Vektor disebut sejajar (paralel) apabila garis yang merepresentasikan kedua buah vektor sejajar.

Operasi Vektor

Perkalian Skalar

Sebuah vektor dapat dikalikan dengan skalar yang akan menghasilkan vektor juga, vektor hasil adalah:

Penambahan Vektor dan Pengurangan Vektor

Sebagai contoh vektor a=a₁i + a₂j + a₃k dan b=b₁i + b₂j + b₃k.

Hasil dari a ditambah b adalah:

pengurangan vektor juga berlaku dengan cara yang kurang lebih sama

Vektor Satuan (Unit Vector)

Vektor satuan adalah vektor yang memiliki panjang 1 satuan panjang. Vektor satuan dari sebuah vektor dapat dicari dengan cara:

Perkalian vektor

Perkalian vektor adalah operasi perkalian dengan dua operand (obyek yang dikalikan) berupa vektor. Terdapat tiga macam perkalian vektor, yaitu perkalian titik (dot product), perkalian silang (cross product) dan perkalian langsung (direct product).

Perkalian titik

Perkalian titik dua buah vektor akan menghasilkan sebuah skalar. Jenis perkalian ini bersifat komutatif.

Untuk vektor satuan terdapat hubungan-hubungan yang khusus dalam operasi perkalian titik, yang merupakan sifat-sifat yang digunakan dalam perkalian titik, yaitu

dan

Atau dapat pula dituliskan dengan menggunakan notasi delta Kronecker , yaitu

Perkalian silang

Posted by pwidia o

PENAMBAHAN VEKTOR

Vektor adalahbesaran yang memiliki arah dan besaran, penambahannya harus dilakukan dengan cara yang khusus. Pada bab ini, terutama akan membahas mengenai vector perpindahan (yang sekarang akan kami beri symbol D) dan vector percepatan (V). tetapi hasinya berlaku bagi vector-vektor yang lain yang akan kita bahas.

Aritmatika sederhana untuk penambahan skala. Aritmatika sederhana juga dapat digunakan untuk penambahan vector jika arahnya sama.

Contoh :

Jika seorang berjalan 8 Km kearah timur pada suatu hari, dan 6 Km kearah timur pada hari berikutnya, orang tersebut akan berada pada jarak 8 km + 6 km = 14 km disebelah timur dari tempat asalnya.

Kita katakana bahwa perpindahan netto atau resultan adalah 14 km kearah timur. Dilain pihak jika orang tersebut berjalan 8 km pada hari pertama, dan 6 km kebarat (arah yang berlawanan) pada hari kedua orang itu akan berada 2 km dari tempat dia berangkat, sehingga perpindahan resultannya 2 km ketimur. Dalam hal ini perpindahan resultan dapat dengan pengukuran : 8 km – 6 km = 2 km.

Resultan = 14 km (timur)

0

Tapi aritmatika sederhana tida dapat digunakan jika kedua vector tidak berada sepanjang garis yang sama.Misalnya seorang berjalan 5,0 km ke utara. Perpindahan ini dapat symbol y pada (positif)kea rah utara dan syimbol x(negatif) menuju kea rah timur .

Gambar tanda panah yang diberi lebel D₁,untuk menyatakan vector perpindahan 10,0 km kea rah timur,kemudian panah ke dua D₂,untukmenyatakan perpindahan 5,0 km ke utara kedua vector digambar nenurut sekala seperti pada gambar disamping.

Setelah melakukan perjalanan orang ini sekaran berada 10,0 km kearah timur dan 5,0 km kearah ke utara dari titik asalnya..perpndhan resultan dinyatakan dengan tanda panah yang diberi lebel D_R dengan menggunakan penggaris dan busur deraja,anda dapat mengukur dengan alat ini bahwa orang tersebut berada pada 27 1ke utara dari 11,2 km dari titik sal.dengan kata lain perpindahan vector memiliki besaran 11,2 km dan membuat sudut 27 dengan sumbu x positif besar(panjang) juga dapat menggunakan teorema pytagoras , karena D₁,D₂, dan D_R membentuk segtiga siku siku dengan D_R sebagai hypotaus (sisi miring) dengan emikian

D_R =√D₁²+D₂² = √(10,0km)² + (5,0km)² = √125 km² = 11,2 km

Tentu saja anda dapat menggunakan teorema Pythagoras hanya jika vektor-vektor tersebut tegak lurus atau sama lain.

Vector perpindahan resultan, D_R adalah jumlah dari vector D₁ dan D₂ yaitu

D_R = D₁ + D₂

Ini adalah persamaan vector. Satu cirri penting dari penabahan dari dua vector yang tidak berada pada garis yang sama adalah bahwa besar vector resultan tidak sama dengan jumlah besar kedua vector pembentuknya, tetapi lebih kecil dari jumlah tersebut.

A x B = (bx r) i + (c x p) j + (a x q) k – (p x b) k – (q x c) i – (Penjumlahan dan pengurangan dua buah vector

│A±B│= akar dari A2+B2±2ABcosα

Perkalian Vektor

Perkalian Dot

adalaha A dot B =│A││B│cosα sudut antara vector A dan B

i x i = 1 ; i x j = 0 ; i x k = 0

j x j = 1 ; j x k = 0 ; j x i = 0

k x k = 1 ; k x j = 0 ; k x i = 0

Perkalian Cross

A x B =│A││B│sinα

i x i = 0 ; i x j = k ; i x k = - j

j x j = 0 ; j x k = i ; j x i = -k

k x k = 0 ; k x j = -i ; k x i = j

Metode Sorrus untuk perkalian Cross

Dua buah vector A = a i + b j + c k dan B = p i + q j + r k

r x a)j

Notasi ILMIAH

Elemen Identitas

• Vektor nol ditulis 0

• Vektor nol disebut elemen identitas

• u + 0 = 0 + u = u

• Jika u adalah sebarang vektor bukan nol, maka –u adalah invers aditif u yang didefinisikan sebagai vektor yang memiliki besar sama tetapi arah berlawanan.

• u – u = u + (-u) = 0

Elemen Identitas

• Vektor nol ditulis 0

• Vektor nol disebut elemen identitas

• u + 0 = 0 + u = u

• Jika u adalah sebarang vektor bukan nol, maka –u adalah invers aditif u yang didefinisikan sebagai vektor yang memiliki besar sama tetapi arah berlawanan.

• u – u = u + (-u) = 0

Penjumlahan Vektor

• Penjumlahan vektor menurut aturan segitiga dan aturan jajaran genjang

• Dalam bentuk pasangan bilangan sbb:

Pengurangan Vektor

• Selisih dua vektor u dan v ditulis u – v didefinisikan u + (-v)

• Dalam bentuk pasangan bilangan

Perkalian Vektor dengan Skalar

• mu adalah suatu vektor dg panjang m kali panjang vektor u dan searah dengan u jika m > 0, dan berlawanan arah jika m <>

Sifat-Sifat Operasi Vektor

• Komutatif à a + b = b + a

• Asosiatif à (a+b)+c = a+(b+c)

• Elemen identitas terhadap penjumlahan

• Sifat tertutup-> hasil penjumlahan vektor juga berupa vektor

• Ketidaksamaan segitiga |u+v| ≤ |u| + |v|

• 1u = u

• 0u = 0, m0 = 0.

• Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0

Sifat-Sifat Operasi Vektor (lanj.)

• (mn)u = m(nu)

• |mu| = |m||u|

• (-mu) = - (mu) = m (-u)

• Distributif : (m+n)u = mu + nu

• Distributif : m(u+v) = mu + mv

• u+(-1)u = u + (-u) = 0

Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

Menghitung Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

Menentukan Arah Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan

Vektor Posisi

• OA = a dan OB = b adalah vektor posisi.

• AB = AO + OB

• = OB – OA

• = b – a

Dot Product (Inner Product)

• Perkalian titik (dot product) a•b (dibaca a dot b) antara dua vektor a dan b merupakan perkalian antara panjang vektor dan cosinus sudut antara keduanya.

Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1,b1,c1] dan b = [a2,b2,c2], maka :

• a•b > 0 jika {γ| 0 < γ <>

• a•b = 0 jika {γ| γ = 90o}

• a•b <>jika {γ| 90o < γ<>

Vektor Ortogonal

• Teorema

– Hasil perkalian dot product antara dua vektor bukan-nol adalah nol jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut saling tegak lurus

• Vektor a disebut ortogonal thd vektor b jika a•b = 0, dan vektor b juga ortogonal thd vektor a.

• Vektor nol 0 ortogonal terhadap semua vektor.

• Untuk vektor bukan-nol

– a•b = 0 jika dan hanya jika cos γ = 0 à γ = 90o = π/2

VEKTOR DAN SKALAR

Besaran Vektor dan Skalar

Written on 5 August 2008 – 1:13 pm | by San |

Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran-besaran seperti massa, jarak, waktu dan volum, termasuk besaran skalar, yakni besaran yang hanya memiliki besar atau nilai saja tetapi tidak memiliki arah. Sedangkan besaran seperti perpindahan, kecepatan, percepatan dan gaya termasuk besaran vektor, yaitu besaran yang memiliki besar (atau nilai) dan juga memiliki arah.

Bagaimana membedakan besaran skalar dan vektor ?

Jika saya mengatakan massa sebuah bola adalah 400 gram, pernyataan ini sudah cukup bagi anda untuk mengetahui semua hal tentang massa bola. Anda tidak membutuhkan arah untuk mengetahui massa bola. Demikian juga dengan waktu, suhu, volume, massa jenis, usaha, kuat arus listrik, tekanan, daya dll.

Ada beberapa besaran fisika yang tidak dapat dinyatakan dengan nilai atau besarnya saja. Misalnya ketika saya mengatakan bahwa seorang anak berpindah sejauh 100 meter, maka pernyataan ini belum cukup. Anda mungkin bertanya, ia berpindah ke mana ? apakah ke arah utara, selatan, timur atau barat ? Demikian juga apabila anda mengatakan bahwa anda mendorong meja dengan gaya sebesar 200 N. Kemana arah dorongan anda ? nah, besaran yang demikian disebut besaran vektor, di mana memerlukan pernjelAsan mengenai besar dan arahnya. Contoh besaran vektor adalah perpindahan, percepatan, impuls, momentum dll. Selengkapnya akan anda pelajari pada pokok bahasan yang berkaitan dengan besaran tersebut.

Bagaimana Menyatakan Suatu Vektor ?

Dalam fisika, akan selalu membatu jika digambarkan diagram mengenai suatu situasi tertentu, dan hal ini akan semakin berarti jika berhubungan dengan vektor. Pada diagram, setiap vektor dinyatakan dengan tanda panah. Tanda panah tersebut selalu digambarkan sedemikian rupa sehingga menunjuk ke arah yang merupakan arah vektor tersebut. Panjang tanda panah digambarkan sebanding dengan besar vektor. Sebagai contoh, pada gambar (a) dilukiskan suatu vektor perpindahan yang besarnya 60 meter dan berarah 45^o utara dari timur. Besar perpindahan 60 meter dilukiskan dengan panjang anak panah 3 cm. ini berarti skala yang dipilih adalah 3 cm = 60 m atau 1 cm = 20 m. Arah perpindahan, yaitu ke 45^o utara dari timur dilukiskan sebagai arah dari pangkal p ke ujung q. vektor perpindahan ini diberi nama A.

Aturan Penulisan Vektor

Postingan yang berkaitan :

Besaran dan Satuan

(Besaran Fisika, Satuan, Konversi satuan, Dimensi, Pengukuran, Angka Penting, Notasi Ilmiah)

Besaran Vektor dan Skalar

1. Vektor dan Skalar
2. Penjumlahan Vektor
3. Menentukan vektor resultan
4. Perkalian titik dan silang
5. Perkalian vektor dan skalar menggunakan komponen vektor satuan

Kinematika Gerak

(Titik acuan, kedudukan, jarak dan perpindahan, Kelajuan, kecepatan dan percepatan, Gerak lurus beraturan (GLB), Gerak lurus berubah beraturan (GLBB), Gerak Jatuh Bebas (GJB), Gerak Parabola - Gerak Peluru, Besaran Gerak Melingkar - perpindahan sudut, kecepatan sudut, percepatan sudut, Gerak Melingkar Beraturan)

Dinamika

(Pengantar Dinamika, Hukum I Newton, Massa, Berat-gaya gravitasi, gaya Normal, Gaya Gesekan, Gesekan statis dan Kinetis, Hukum II Newton, Hukum III Newton, Hukum Newton tentang gravitasi, Hukum Kepler)

VEKTOR DAN SKALAR

Vektor dan Skalar

Dalam mempelajari fisika kita selalu berhubungan dengan besaran, yaitu sesuatu yang dapat diukur. Ada besaran yang cukup dinyatakan dengan nilai (harga atau magnitude) dan satuannya saja. Besaran ini disebut Skalar. Ada juga besaran yang disamping nilai dan satuannya perlu juga dinyatakan arahnya. Besaran ini disebut vektor.

Besaran Vektor mempunyai nilai (magnitude) dan arah (direction).

Contoh besaran vektor : perpindahan (pesawat terbang telah terbang 20 km ke timur), kecepatan (sebuah mobil sedang bergerak dengan kecepatan 30 km/jam) dan gaya (seorang kuli sedang memberikan gaya ke atas 20 N untuk mengangkat satu karung beras)

Besaran skalar hanya mempunyai nilai (magnitude).

contoh besaran skalar : massa (sebuah batu massanya 5 kg), suhu ( tubuhnya bersuhu 30 derajat celcius).

Besaran Skalar memenuhi hukum berhitung : Tambah , kurang, kali, dan bagi.

Besaran vektor dituliskan dengan tanda panah diatas besaran tersebut atau dengan huruf tebal. Besaran atau nilai dinyatakan dengan harga mutlaknya.

Vektor dapat direpresentasikan secara grafik dengan menggunakan anak panah,

Arah anak panah menyatakan arah vektor tersebut, dan panjang anak panah sebanding dengan nilai vektornya. Titik pangkal vektor disebut titik tangkap vektor, dan garis yang berimpit dengan vektor disebut garis kerja vektor.

Vektor Satuan adalah vektor yang besarnya 1 satuan.

Kesamaan vektor

Vektor dikatakan sama dengan vektor bila besarnya dan arahnya sama. Titik tangkap dan garis kerjanya tidak harus sama.

lampiran

HUKUM KEKEKALAN MOMENTUM

Hukum Kekekalan Momentum

Written on 9 November 2008 – 12:12 am | by san |

Pada pokok bahasan Momentum dan Impuls, kita telah berkenalan dengan konsep momentum serta pengaruh momentum benda pada peristiwa tumbukan. Pada kesempatan ini kita akan meninjau momentum benda ketika dua buah benda saling bertumbukan. Ingat ya, momentum merupakan hasil kali antara massa benda dengan kecepatan gerak benda tersebut. Jadi momentum suatu benda selalu dihubungkan dengan massa dan kecepatan benda. Kita tidak bisa meninjau momentum suatu benda hanya berdasarkan massa atau kecepatannya saja. Pahami baik-baik konsep ini ya….

Pernahkah anda menonton permainan biliard ? lebih baik lagi jika dirimu adalah pemain biliard biasanya pada permainan billiard, kita berusaha untuk memasukan bola ke dalam lubang. Bola yang menjadi target biasanya diam. Jika anda perhatikan secara cermat, kecepatan bola biliard yang disodok menuju bola biliard target menjadi berkurang setelah kedua bola biliard bertumbukan. Sebaliknya, setelah bertumbukan, bola biliard yang pada mulanya diam menjadi bergerak. Berhubung massa bola biliard selalu tetap, maka yang mengalami perubahan adalah kecepatan. Karena bola billiard yang disodok mengalami pengurangan kecepatan setelah tumbukan, maka tentu saja momentumnya juga berkurang. Jika momentum bola billiard yang disodok berkurang, kemanakah momentumnya pergi ? bisa kita tebak, momentum yang hilang pada bola billiard yang disodok berpindah ke bola billiard target. Kok bisa ? ya iyalah bola billiard target kan pada mulanya diam, sehingga momentumnya pasti nol. Setelah bertumbukkan, bola billiard tersebut bergerak. Karena bergerak, maka tentu saja bola billiard target memiliki momentum. Jadi momentum bola billiard yang disodok tadi berpindah ke bola billiard target. Dengan demikian kita bisa mengatakan bahwa perubahan momentum pada kedua bola billiard setelah terjadi tumbukan disebabkan karena adanya “perpindahan momentum” dari satu bola billiard ke bola biliard lainnya.

Nah, sekarang pahami penjelasan gurumuda ini baik2 ya….. Pada saat sebelum tumbukan, bola billiard target diam sehingga momentumnya = 0, sedangkan bola billiard yang disodok bergerak dengan kecepatan tertentu; bola billiard yang disodok memiliki momentum. Setelah terjadi tumbukan, kecepatan bola billiard yang disodok berkurang; karenanya momentumnya juga berkurang. Sebaliknya, bola billiard target yang pada mulanya diam menjadi bergerak setelah terjadi tumbukan. Karena bergerak maka kita bisa mengatakan bahwa momentum bola billiard target “bertambah”. Dapatkah kita menyimpulkan bahwa jumlah momentum kedua bola billiard tersebut sebelum tumbukan = jumlah momentum kedua bola billiard setelah tumbukan ?

Jika bingung, dibaca perlahan-lahan sambil dipahami ya…. bagi yang belum pernah melihat atau bermain bola billiard, anda pasti kebingungan dengan penjelasan di atas. Oleh karena itu, segera beli dua buah kelereng pada warung atau toko terdekat…. dan lakukan percobaan berikut. Letakkan sebuah kelereng pada permukaan lantai yang datar. Setelah itu, tembakkan kelereng yang diam tersebut menggunakan kelereng lainnya dari jarak tertentu. Jika meleset, ulangi sampai kedua kelereng bertumbukan. Amati secara saksama kecepatan gerak kelereng tersebut. Setelah kedua kelereng bertumbukan, kelereng yang pada mulanya diam (tidak memiliki momentum) pasti bergerak (memiliki momentum). Sebaliknya, kelereng yang anda kutik tadi pasti kecepatannya berkurang setelah tumbukan (momentumnya berkurang). Dengan demikian kita bisa mengatakan bahwa momentum kelereng yang dikutik berkurang karena sebagian momentumnya berpindah ke kelereng target yang pada mulanya diam. Dapatkah kita menyimpulkan bahwa jumlah momentum kedua kelereng sebelum tumbukan = jumlah momentum kedua kelereng setelah tumbukan ?

Alangkah baiknya jika dirimu melakukan percobaan menumbukkan dua bola (mirip bola billiard) di atas permukaan meja getar. Syukur kalau di laboratorium sekolah-mu ada meja getar. Pada percobaan menumbukan dua bola di atas permukaan meja getar, kita mengitung kecepatan kedua bola sebelum dan setelah tumbukan. Massa bola tetap, sehingga yang diselidiki adalah kecepatannya. Frekuensi getaran meja = frekuensi listrik PLN (50 Hertz). Karena telah diketahui frekuensi getaran meja, maka kita bisa menentukan periode getaran meja. Nah, waktunya sudah diketahui, sekarang tugas kita adalah mengukur panjang jejak bola ketika bergerak di atas meja getar. Karena meja bergetar setiap 0,02 detik (1/50), maka ketika bergerak di atas meja, bola pasti meninggalkan jejak di atas meja yang sudah kita lapisi dengan kertas karbon. Jarak antara satu jejak dengan jejak yang lain; yang ditinggalkan bola setiap 0,02 detik kita ukur. Setelah memperoleh data jarak tempuh bola, selanjutnya kita bisa menghitung kecepatan gerak kedua bola tersebut, baik sebelum tumbukan maupun setelah tumbukan. selanjutnya kita hitung momentum kedua bola sebelum tumbukan (p = mv) dan momentum kedua bola setelah tumbukan (p’ = mv’). Jika percobaan dilakukan dengan baik dan benar, maka kesimpulan yang kita peroleh adalah total momentum dua benda sebelum tumbukan = total momentum kedua benda tersebut setelah tumbukan.

Jika di laboratorium sekolah anda tidak ada meja getar, coba pahami ilustrasi bola biliard atau kelereng di atas secara saksama. Jika sudah paham, anda pasti setuju kalau gurumuda mengatakan bahwa jumlah momentum kedua benda sebelum tumbukan = jumlah momentum kedua benda setelah tumbukan. Pada ilustrasi di atas, sebelum tumbukan salah satu benda diam. Pada dasarnya sama saja bila dua benda sama-sama bergerak sebelum tumbukan. Kecepatan gerak kedua benda tersebut pasti berubah setelah tumbukan, sehingga momentum masing-masing benda juga mengalami perubahan. Kecuali jika massa dan kecepatan dua benda sama sebelum kedua benda tersebut saling bertumbukan. Biasanya total momentum kedua benda sebelum tumbukan = total momentum kedua benda setelah terjadi tumbukan.

Penjelasan panjang lebar dan bertele-tele di atas hanya mau mengantar dirimu untuk memahami inti pokok bahasan ini, yakni Hukum Kekekalan Momentum. Tidak peduli berapapun massa dan kecepatan benda yang saling bertumbukan, ternyata momentum total sebelum tumbukan = momentum total setelah tumbukan. Hal ini berlaku apabila tidak ada gaya luar alias gaya eksternal total yang bekerja pada benda yang bertumbukan. Jadi analisis kita hanya terbatas pada dua benda yang bertumbukan, tanpa ada pengaruh dari gaya luar. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Jika dua benda yang bertumbukan diilustrasikan dengan gambar di atas, maka secara matematis, hukum kekekalan momentum dinyatakan dengan persamaan :

Keterangan :

m₁ = massa benda 1, m₂ = massa benda 2, v₁ = kecepatan benda 1 sebelum tumbukan, v₂ = kecepatan benda 2 sebelum tumbukan, v’₁ = kecepatan benda 1 setelah tumbukan, v’₂ = kecepatan benda 2 setelah tumbukan

Jika dinyatakan dalam momentum, maka :

m₁v₁ = momentum benda 1 sebelum tumbukan, m₂v₂ = momentum benda 2 sebelum tumbukan, m₁v‘₁ = momentum benda 1 setelah tumbukan, m₂v‘₂ = momentum benda 2 setelah tumbukan

Perlu anda ketahui bahwa Hukum Kekekalan Momentum ditemukan melalui percobaan pada pertengahan abad ke-17, sebelum eyang Newton merumuskan hukumnya tentang gerak (mengenai Hukum II Newton versi momentum telah saya jelaskan pada pokok bahasan Momentum, Tumbukan dan Impuls). Walaupun demikian, kita dapat menurunkan persamaan Hukum Kekekalan Momentum dari persamaan hukum II Newton. Yang kita tinjau ini khusus untuk kasus tumbukan satu dimensi, seperti yang dilustrasikan pada gambar di atas.

Kita tulis kembali persamaan hukum II Newton :

Ketika bola 1 dan bola 2 bertumbukan, bola 1 memberikan gaya pada bola 2 sebesar F₂₁, di mana arah gaya tersebut ke kanan (perhatikan gambar di bawah)

Momentum bola 2 dinyatakan dengan persamaan :

Berdasarkan Hukum III Newton (Hukum aksi-reaksi), bola 2 memberikan gaya reaksi pada bola 1, di mana besar F₁₂ = - F₂₁. (Ingat ya, besar gaya reaksi = gaya aksi. Tanda negatif menunjukan bahwa arah gaya reaksi berlawanan dengan arah gaya aksi)

Momentum bola 1 dinyatakan dengan persamaan :

Ini adalah persamaan Hukum Kekekalan Momentum. Hukum Kekekalan Momentum berlaku jika gaya total pada benda-benda yang bertumbukan = 0. Pada penjelasan di atas, gaya total pada dua benda yang bertumbukan adalah F₁₂ + (-F₂₁) = 0. Jika nilai gaya total dimasukan dalam persamaan momentum :

Hal ini menunjukkan bahwa apabila gaya total pada sistem = 0, maka momentum total tidak berubah. Yang dimaksudkan dengan sistem adalah benda-benda yang bertumbukan. Apabila pada sistem tersebut bekerja gaya luar (gaya-gaya yang diberikan oleh benda di luar sistem), sehingga gaya total tidak sama dengan nol, maka hukum kekekalan momentum tidak berlaku.

Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa :

Jika tidak ada gaya luar yang bekerja pada benda-benda yang bertumbukan, maka jumlah momentum benda-benda sebelum tumbukan sama dengan jumlah momentum benda-benda setelah tumbukan.